Вероятность выигрыша в лотереях

НазваниеВероятность выигрыша в лотереях
страница1/4
Некрылов Леонид Сергеевич
Дата конвертации10.08.2012
Размер321,69 Kb.
ТипРеферат
  1   2   3   4



ОКРУЖНАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ


СЕКЦИЯ «Математика»


Вероятность выигрыша в лотереях


Автор: Некрылов Леонид Сергеевич

учащийся 9 класса

МОУ Герасимовская СОШ


Руководитель: Некрылова Елена Евгениевна

учитель информатики


Консультант: Остапенко Нина Устиновна

учитель математики


г.Нефтегорск, 2010

Содержание


Введение ………………………………………………………………………… 3

Глава 1. Методы комбинаторики и теории вероятностей

для поиска выигрышных стратегий в лотереях …………………………………. 4

    1. Системы выигрышных стратегий в лотереях ………………… 4

    2. Расчет вероятности выигрыша в лотереи ………………… 8

    3. Автоматизация процесса вычисления ………………… 10

Глава 2. Поиск вероятностей угадывания чисел при игре в лотереи …………… 11

2.1. Лотерея «6 из 49» ………………… 11

2.2. Лотерея «Спортлото» ………………… 13

2.3. Лотерея «5 из 35» ………………… 14

2.4. Школьная лотерея «3 из 15» ………………… 17

Заключение ………………………………………………………………………….. 19

Список литературы …………………………………………………………………. 20

Приложения ………………………………………………………………………… 21

Приложение 1. Гистограммы для экспериментов …………………. 21

Приложение 2. Программа для вычисления числа комбинаций …. 23

Глоссарий ……………………………………………………………………………. 24


Введение

В прошлом году, готовясь к научно-практической конференции, я изучил много математических закономерностей и разработал беспроигрышные стратегии в математических играх. Я решил проверить, есть ли какие-то закономерности при игре в лотерею. Мои родители рассказали, что в прошлом были очень популярны лотереи «5 из 35» и «6 из 49», и что они часто выигрывали, правда, незначительные призы. Я обратился к маме (она у меня по образованию физик), и она рассказала, что в моей работе могут пригодиться методы математической статистики и комбинаторики.

Так у меня появилась цель исследования: вывести математические закономерности и рассчитать вероятность выигрыша в лотерею.

Задачи исследования:

  1. Изучить литературу, описывающую методы математической статистики и комбинаторики.

  2. Рассчитать вероятность выигрыша в лотерею.

  3. Провести экспериментальную работу с одноклассниками по выявлению вероятностей выигрыша.

  4. Найти оптимальный вариант лотереи, в котором вероятность выигрыша была бы максимальной.

Объектом исследования являются математические закономерности выигрыша в лотереи.

Предмет исследования – вероятность выигрыша в лотерею.

Исходя из цели исследования, выдвинута следующая гипотеза: если знать математические закономерности, можно рассчитать вероятность выигрыша в лотерею.

В своей работе я использовал экспериментальные методы математической статистики, комбинаторики и обработки числовой информации с помощью программы Microsoft Excel.

Считаю выбранную мной тему очень интересной и актуальной, так как это позволяет посмотреть на математику по-новому - это не только примеры и задачи, но и занимательные игры, которые будут интересны многим людям.

Глава 1. Методы комбинаторики и теории вероятностей для поиска выигрышных стратегий в лотереях


Существует масса литературы, рекомендаций от самых  простых до самых сложных, как платных, так и бесплатных, по беспроигрышным стратегиям в лотереях. Но, как правило, стратегии игры в лотереи основываются на итоговом анализе результатов, полученных в предыдущих тиражах. С помощью статистики выпавших номеров на предыдущих этапах определяется частота выпадения. Есть два варианта игры — ставить на те числа, что выпадают чаще остальных, или же на те числа, что выпадают реже.  Соответственно, игрок надеется, что числа будут продолжать выпадать чаще, либо игрок надеется, что частота выпадения стабилизируется, и редкие числа начнут выпадать чаще. Существует множество других стратегий, гораздо более сложных. А некоторые не верят в науку и используют свои методы для угадывания выигрышных номеров, например, гадание.


1.1. Системы выигрышных стратегий в лотереях

Лотерея – это одна из самых старинных игр, придуманных в Китае. На деньги, вырученные с первой лотереи, строилась великая китайская стена.  Современная лотерея – бывает тиражная и бестиражная.  Лотерея – одна из самых популярных игр, в неё играют жители самых удаленных уголков земли.  Размеры выигрышей в лотерею поражают воображение.  На сегодняшний день  лотереи России получили новый толчок в развитии. Уже и у нас можно услышать о выигрышах в размере 100 миллионов.  Кроме традиционных существуют лотереи через интернет, так называемые, электронные лотереи.

Как только появились лотереи, сразу же возникли системы выигрышных стратегий, основанные на математических закономерностях.

В настоящее время у игроков нет недостатка в различных системах - имеется несколько хороших сборников систем специально подобранных для большинства лотерей, системы часто публикуются в журналах «Наука и жизнь» и пр. Комбинаторные системы не являются секретным способом выколачивания денег из лотереи. Они не дают увеличения вероятности выигрыша в расчете на одну комбинацию системы. Да, общая вероятность выигрыша по системе больше, чем для одного варианта заполнения билета, но лишь за счет того, что система содержит много таких вариантов. При этом соответственно возрастает стоимость игры и таким образом средняя величина прибыли на единицу вложенных денег не увеличивается. При одном и том же количестве вариантов, хорошая система обеспечивает большую вероятность выигрыша, а для лотерей "джекпотного" типа и большую величину средней прибыли, чем случайный набор вариантов. И чем больше количество вариантов, тем сильнее проявляется это различие. Все выше сказанное относится к случаю, когда безразлично, какие номера использовать. Если же мы каким-либо способом отобрали набор номеров и хотим использовать только номера из этого набора, то в этом случае использование системы становится еще более важным.

"Системой" фактически является любой набор вариантов, но не все наборы одинаково хороши. Системы, которые публикуют в справочниках обычно намного лучше, чем случайные наборы чисел. Чем же они лучше? Приведу простой пример.

Возьмем набор вариантов:

1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 7
1 2 3 4 5 8

Это можно назвать системой, но она плохая. Допустим, в тираже выпали номера 1, 2, 3, 4, 5, 9. При этом мы угадали "пятерку" причем в каждом из трех вариантов системы, то есть всего три "пятерки". Но в лотереях, как правило, угадывается всего несколько пятерок, и общая сумма, выделенная на выигрыши этой категории, делится между ними. Поэтому выплаченная за каждую из трех пятерок сумма будет меньше, чем, если бы мы играли одной комбинацией и угадали только одну пятерку. Например, если на выигрыши за пятерки выделено 12000 и, кроме нас, пятерку угадали три других игрока, то мы получим 6000 за три угаданных пятерки, т.е. по 2000 за каждую (так как всего угадано 6 пятерок и 12000 / 6 = 2000).

Если бы мы угадали только одну пятерку, мы получили бы 12000 / 4 = 3000. Таким образом, при использовании этой "системы" наши расходы увеличились в три раза, а прибыль увеличилась только в два раза. И для этой пятерки 1, 2, 3, 4, 5 это увеличение расходов не полностью компенсируется увеличением вероятности угадывания пятерки. То есть, в этом случае игра по такой "системе" в полтора раза более убыточна, чем игра одним вариантом. Такая потеря происходит только для одной пятерки - все остальные варианты пятерок в этой системе не повторяются. Если система содержит несколько различных повторяющихся пятерок, то каждая из них будет немного уменьшать прибыльность игры, по сравнению с одним вариантом. Такое свойство систем называют избыточностью, это важная характеристика системы. Чем меньше избыточность системы, т.е. чем меньше в ней повторов комбинаций определенного размера, тем она лучше. Еще одна  характеристика системы это "покрытие" [2], т.е. сколько различных комбинаций данного размера она содержит. Очевидно, эти две характеристики связаны - чем меньше избыточность системы, тем большее число вариантов тиражей она покрывает при одном и том же количестве комбинаций в системе. Самыми плохими являются полные системы [3], т.е. системы, включающие в себя все возможные варианты из данного набора номеров. Полные системы очень сильно снижают вероятность и прибыль для выигрышей второй и более низких категорий в расчете на единицу затрат.

Идеальная система - это система, которая покрывает все комбинации заданного размера и при этом совершенно не избыточна. Например, идеальная система для "отлавливания" четверок, это система, которая для любого варианта тиража даст четверку, причем всегда только одну. К сожалению, идеальные системы могут быть построены лишь в очень редких случаях при определенных параметрах задачи. Например, для набора из 22 номеров существует идеальная система для троек из 77 вариантов. Это значит, что если мы выберем три номера из 22, то при любом варианте выбора среди 77 комбинаций системы найдется ровно один такой, что в нем будут все 3 выбранных номера.

Подавляющее большинство систем избыточно, при этом задача получения хорошей системы состоит в том, чтобы при заданных условиях покрытия сделать систему как можно менее избыточной, т.е. сделать так чтобы она состояла из наименьшего возможного числа вариантов.  Условие покрытия часто формулируется в виде гарантии: например, можно потребовать, чтобы система из 10 номеров гарантировала четверку при 5 угаданных номерах и т.п.

В математике наборы, удовлетворяющие подобным условиям, называют покрывающими системами и традиционно обозначают C(v, k, t, m, L, =b). (здесь v - число номеров входящих в систему, k - количество номеров в комбинации, t - размер комбинации, которая должна совпасть, m - количество выпавших номеров среди выбранных, L - минимальное требуемое число совпадений, b - число вариантов комбинаций в системе). В приложении к числовым лотереям интерес представляют главным образом минимальные покрывающие системы специального типа, в которых m = t, такие системы называют t-схемами и обозначают t-( v, k, L, =b) Если при этом L=1, (как обычно нам и требуется), то такая схема называется система Штейнера и обозначается S(v, k, t, =b). Таким образом, задача состоит в нахождении систем Штейнера для различных значений v, k, t, и b. Задачи такого типа в математике известны достаточно давно, но, несмотря на то, что они могут показаться несложными, общие методы решения до сих пор не известны. До недавнего времени были известны решения для очень немногих отдельных случаев. И лишь в последние годы современные компьютеры позволили получить решения для многих практически важных случаев путем перебора гигантского числа комбинаций. Для многих вариантов параметров и до сих пор не известны минимальные покрывающие системы. Например, несколько лет назад лучшей покрывающей системой, гарантирующей тройку в лотерее 6/49, была система из 167 вариантов[ 2 ]. За прошедшие годы число вариантов удалось снизить до 163, причем последний шаг был сделан совсем недавно. Даже если найдена минимальная покрывающая система, то почти во всех случаях она все равно избыточна, поэтому можно пойти и другим путем - отказаться от требования полного покрытия, но за счет этого потребовать, чтобы система была не избыточной. Такие системы при том же самом числе вариантов являются лучшими по соотношению вероятность выигрыша / затраты.

Неполная система — понятие из области прикладной комбинаторики, обозначающее сокращенную матрицу комбинаций, рассчитанных на основе формулы количества сочетаний из n-элементов по m. Полная (или «барабанная» система), служащая для неё основой — это просто способ разыграть все возможные комбинации из ограниченного набора чисел.

Допустим, Вы играете в обычную лотерею «6 из 49». Суть системы в том, что вы берёте любые, например, 7 чисел — и разыгрываете все их возможные комбинации. Если для простоты взять числа от 01 до 07, и записать все их комбинации (при условии того что играют 6 шаров), то мы получим следующую картину (см. рис 1):


номер

комбинация

1

01 02 03 04 05 06

2

01 02 03 04 05 07

3

01 02 03 04 06 07

4

01 02 03 05 06 07

5

01 02 04 05 06 07

6

01 03 04 05 06 07

7

02 03 04 05 06 07

Рис.1

Можно заметить, что числа в строках как бы «прокручиваются», как барабан или колесо — отсюда и название системы — «барабанная».

Если Вы сыграете по этой 7-числовой таблице, вы потратите столько же денег, как и на любые другие 7 комбинаций. Это также даст Вам 7 шансов выиграть джекпот, как и любые другие 7 билетов. Но, вопреки распространенному мнению, такая система не увеличивает шансы угадать разыгрываемую в лотерее комбинацию. Шансы точно такие же, как если заполнить эти 7 комбинаций случайными числами.

Если брать не 7 чисел, а больше, то количество комбинаций значительно возрастает. Поэтому, для экономии, к полученным полным системам применяют правила аббревиации1. Таких правил разработано довольно много, но суть их одна — они позволяют сократить количество комбинаций в полной системе в несколько раз при незначительных потерях в результативности системы в целом.

Существует ли «универсальная система» угадывания номеров, с помощью которой можно было бы регулярно выигрывать? Большинство источников категоричны в своем мнении – нет, не существует.

Успех определяет один из элементов теории вероятностей – фактор случайности. Поэтому выигрыш возможен как в игре по системе, так и в бессистемной игре.

Однако только постоянное участие в лотерее из тиража в тираж хотя бы небольшим количеством билетов позволяет стать обладателем выигрыша.

В чем же заключаются преимущества игры по системе перед бессистемной игрой?

Чтобы наверняка угадать 6 номеров в лотерее «6 из 45» и 5 номеров в лотерее «5 из 36», надо заполнить соответственно 8145060 и 376992 комбинации, что практически невозможно сделать не только одному участнику лотереи, но и целому коллективу. Игра по системе дает возможность охватить в разумных пределах определенное количество комбинаций, составленных из группы номеров.

Система приближает возможность выигрыша: чем больше номеров охвачено системой, тем вероятнее шанс на выигрыш.

И, наконец, в случае угадывания система дает большую сумму выигрыша, так как выигрывают, как правило, несколько комбинаций.


1.2. Расчет вероятности выигрыша в лотереи

Игра в лотерею подразумевает выбор небольшого количества чисел из большого числа вариантов.

Для подсчета возможного количества комбинаций можно воспользоваться знаниями комбинаторики.

Сочетаниями из n элементов по m (m n) называются неупорядоченные m-элементные выборки из данных n-элементов.
Ясно, что все сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, а порядок элементов здесь не существенен. Число сочетаний из n по m обозначается [1]


     


Вероятностью случайного события А называется дробь


 [1],

где п – число всех возможных исходов эксперимента, m – число исходов, благоприятных для события А.


Например, нужно угадать 1 число из 100. Значит, мне надо найти, сколько возможно комбинаций по 1 номеру из 100 (подставим в формулу (1) х=1, y=100):



А сколько возможно комбинаций при угадывании 2 чисел из 100?




Учитель информатики и физики (а по совместительству – ещё и моя мама) предложила рассчитать, сколько нужно было купить лотерейных билетов, чтобы угадать 5 чисел из 35 или 6 чисел из 49. Полученные числа меня просто ошеломили!







Для реализации подобной идеи нужно было быть миллионером!

Да и разбогатеть в этом случае было бы трудно, поскольку выигрыш был не фиксирован, и в каждом тираже на призовой фонд отводилась лишь часть собранной от продажи билетов суммы. Но ведь кто-то же выигрывал!

Для анализа возможных комбинаций используют абсолютную частоту, которая показывает, сколько раз в серии экспериментов наблюдалось данное событие, и относительную частоту (которую иногда называют просто частотой), которая показывает, какая доля экспериментов завершилась наступлением данного события.

Абсолютная частота – это количество событий, интересующих исследователя. Абсолютную частоту принято обозначать буквой F. Относительная частота – это абсолютная частота, отнесённая к общему количеству событий в некотором опыте. Вероятность – это то значение, к которому стремится относительная частота при бесконечном увеличении числа опытов.



    1. Автоматизация процесса вычисления


Для автоматизации процесса вычисления я использовал электронные таблицы Exсel, входящие в стандартный пакет программ Microsoft Office.




Рис 2.


  1   2   3   4

Разместите кнопку на своём сайте:
поделись


База данных защищена авторским правом ©docs.podelise.ru 2012
обратиться к администрации
ЖивоДокументы
Главная страница